Định Lý Viet Và Ứng Dụng Trong Phương Trình.

định lý viet

Định lý Viet là một trong những kiến thức quan trọng của chương trình toán Trung học cơ sở. Đây là chủ đề thường xuyên xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi, thi tuyển sinh lớp 10. Vì vậy hôm nay Kiến Guru xin giới thiệu đến bạn đọc một số ứng dụng quan trọng của định lý này. Bài viết vừa tổng hợp lý thuyết, vừa đưa ra các ví dụ rõ ràng, chi tiết giúp các bạn nắm vững và ứng dụng thành thục các hệ thức Viet vào việc chinh phục các bài toán. Cùng khám phá nhé:

I. Định lý Viet – Lý thuyết quan trọng.

Định lý Viet hay hệ thức Viet thể hiện mối quan hệ giữa các nghiệm của một phương trình đa thức do nhà toán học Pháp François Viète khám phá ra.

[external_link_head]

1. Định lý Viet thuận.

Cho phương trình bậc 2 một ẩn: ax2+bx+c=0 (a≠0) (*) có 2 nghiệm x1 và x2. Khi đó 2 nghiệm này thỏa mãn hệ thức sau:

Định Lý Viet Và Ứng Dụng Trong Phương Trình.

Hệ quả: Dựa vào hệ thức Viet khi phương trình bậc 2 một ẩn có nghiệm, ta có thể nhẩm trực tiếp nghiệm của phương trình trong một số trường hợp đặc biệt:

  • Nếu a+b+c=0 thì (*) có 1 nghiệm x1=1 và x2=c/a
  • Nếu a-b+c=0 thì (*) có nghiệm x1=-1 và x2=-c/a

2. Định lý Viet đảo.

Giả sử hai số thực x1 và x2 thỏa mãn hệ thức:

Định Lý Viet Và Ứng Dụng Trong Phương Trình.

thì x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình bậc 2: x2-Sx+P=0 (1).

Chú ý: điều kiện S2-4P≥0 là bắt buộc. Đây là điều kiện để ∆(1)≥0  hay nói cách khác, đây là điều kiện để phương trình bậc 2 tồn tại nghiệm.

II. Các dạng bài tập ứng dụng định lý Viet.

1.  Ứng dụng hệ thức Viet tìm hai số khi biết tổng và tích.

Phương pháp:

Nếu 2 số u và v thỏa mãn:

Định Lý Viet Và Ứng Dụng Trong Phương Trình.

thì u, v sẽ là 2 nghiệm của phương trình: x2-Sx+P=0.

Như vậy, việc xác định hai số u, v sẽ quay về bài toán giải phương trình bậc 2 một ẩn:

  • Nếu S2-4P≥0 thì tồn tại u,v.
  • Nếu S2-4P<0 thì không tồn tại số nào thỏa mãn.
  •  

Ví dụ 1: Một hình chữ nhật có chu vi 6a, diện tích là 2a2. Hãy tìm độ dài 2 cạnh.

Hướng dẫn:

Gọi x1, x2 lần lượt là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật. Theo đề ta có:

Định Lý Viet Và Ứng Dụng Trong Phương Trình.

Suy ra x1, x2 là nghiệm của phương trình: x2-3ax+2a2=0.

Giải phương trình trên được x1=2a, x2=a (do x1>x2)

Vậy hình chữ nhật có chiều dài 2a, chiều rộng là a.

Ví dụ 2: Tìm hai số x1, x2 thỏa mãn (x1>x2)

Định Lý Viet Và Ứng Dụng Trong Phương Trình.

Hướng dẫn:

Ta cần biến đổi hệ đã cho về dạng tổng tích quen thuộc:

Định Lý Viet Và Ứng Dụng Trong Phương Trình.

[external_link offset=1]

  • Trường hợp 1:

Định Lý Viet Và Ứng Dụng Trong Phương Trình.

suy ra x1, x2 là nghiệm của phương trình bậc 2: x2-5x+6=0. Giải tìm được x1=3, x2=2

  • Trường hợp 2:

Định Lý Viet Và Ứng Dụng Trong Phương Trình.

suy ra x1, x2 là nghiệm của phương trình bậc 2: x2+5x+6=0. Giải tìm được x1=-2, x2=-3.

Ví dụ 3: Giải phương trình:

Định Lý Viet Và Ứng Dụng Trong Phương Trình.

Hướng dẫn:

Điều kiện: x≠-1

Để ý, nếu quy đồng mẫu, ta sẽ được một phương trình đa thức, tuy nhiên bậc của phương trình này khá lớn. Rất khó để tìm ra định hướng khi ở dạng này.

Vì vậy, ta có thể nghĩ đến việc đặt ẩn phụ để bài toán đơn giản hơn.

Ta đặt:

Định Lý Viet Và Ứng Dụng Trong Phương Trình.

Khi đó theo đề: uv=6.

Ta lại có:

Định Lý Viet Và Ứng Dụng Trong Phương Trình.

Suy ra u, v là nghiệm của phương trình bậc 2: t2-5t+6=0.

Giải phương trình trên được:

Định Lý Viet Và Ứng Dụng Trong Phương Trình.

  • Trường hợp 1: u=3, v=2. Khi đó ta thu được phương trình: x2-2x+3=0 (vô nghiệm)
  • Trường hợp 2: u=2, v=3. Khi đó ta thu được phương trình x2-3x+2=0, suy ra x1=1, x2=2 (thỏa mãn điều kiện x≠-1)

2. Áp dụng định lý Viet tính giá trị biểu thức đối xứng.

Phương pháp:

Biểu thức đối xứng với x1, x2 nếu ta đổi chỗ x1, x2 cho nhau thì giá trị biểu thức không thay đổi:

Định Lý Viet Và Ứng Dụng Trong Phương Trình.

  • Nếu f là một biểu thức đối xứng, nó luôn tồn tại cách biểu diễn qua biểu thức đối xứng S=x1+x2, P=x1x2
  • Một số biểu diễn quen thuộc:

  • Áp dụng hệ thức Viet, ta tính được giá trị biểu thức cần tìm.


Ví dụ 4: Cho phương trình bậc 2 một ẩn: ax2+bx+c=0 (a≠0) tồn tại 2 nghiệm x1, x2. Gọi:

Định Lý Viet Và Ứng Dụng Trong Phương Trình.

Hãy chứng minh:

Định Lý Viet Và Ứng Dụng Trong Phương Trình.

Hướng dẫn:

Ví dụ 5: Cho phương trình x2+5x+2=0. Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình. Tính giá trị của:

Định Lý Viet Và Ứng Dụng Trong Phương Trình.

Hướng dẫn:

Cách 1:

Ta biến đổi:

Định Lý Viet Và Ứng Dụng Trong Phương Trình.

Lại có:

Thế vào ta tính được S.

Cách 2:

Ta có thể ứng dụng ví dụ 4 để tính trong trường hợp này, chú ý:

Định Lý Viet Và Ứng Dụng Trong Phương Trình.

Ta có: S=S7.

[external_link offset=2]

Vậy ta tính lần lượt S1, S2,.., S6. Sau đó sẽ có được giá trị của S7.

3. Áp dụng định lý Viet vào các bài toán có tham số.

Đối với các bài toán tham số, điều kiện tiên quyết là phải xét trường hợp để phương trình tồn tại nghiệm. Sau đó áp dụng định lý Viet cho phương trình bậc hai, ta sẽ có các hệ thức của hai nghiệm x1, x2 theo tham số, kết hợp với dữ kiện đề bài để tìm đáp án.

Ví dụ 5: Cho phương trình mx2-2(3-m)x+m-4=0 (*) (tham số m).

Hãy xác định giá trị của tham số để:

  1. Có đúng 1 nghiệm âm.
  2. Có 2 nghiệm trái dấu.

Hướng dẫn:

Nhắc lại kiến thức:

Đặc biệt, do ở hệ số a có chứa tham số, vì vậy ta cần xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: a=0⇔m=0

Khi đó (*)⇔-6x-4=0⇔x=-⅔. Đây là nghiệm âm duy nhất.

Trường hợp 2: a≠0⇔m≠0

Lúc này, điều kiện là:

Định Lý Viet Và Ứng Dụng Trong Phương Trình.

Ví dụ 6: Tìm tất cả giá trị m thỏa mãn phương trình bậc 2 sau:

Định Lý Viet Và Ứng Dụng Trong Phương Trình. 

tồn tại  nghiệm x1, x2  phân biệt sao cho:

Định Lý Viet Và Ứng Dụng Trong Phương Trình.

Hướng dẫn:

Điều kiện để phương trình tồn tại 2 nghiệm phân biệt:

Định Lý Viet Và Ứng Dụng Trong Phương Trình.

Khi đó dựa vào hệ thức Viet:

Định Lý Viet Và Ứng Dụng Trong Phương Trình.

Hai nghiệm phân biệt này phải khác 0 (vì để thỏa mãn đẳng thức đề cho), suy ra:

Định Lý Viet Và Ứng Dụng Trong Phương Trình.  (2)

Mặt khác, theo đề:

Trường hợp 1:

Định Lý Viet Và Ứng Dụng Trong Phương Trình.

Trường hợp 2:

Định Lý Viet Và Ứng Dụng Trong Phương Trình.

Kết hợp với 2 điều kiện (1) và (2) suy ra m=1 hoặc m=5 thỏa yêu cầu bài toán.


Trên đây là tổng hợp của Kiến Guru về định lý Viet. Hy vọng thông qua bài viết, các bạn sẽ tự củng cố và rèn luyện thêm tư duy giải toán của bản thân. Mỗi bài toán sẽ có nhiều cách tiếp cận khác nhau, chính vì vậy, hãy tự do vận dụng một cách sáng tạo những gì bạn học được nhé, điều đó sẽ hỗ trợ cho các bạn sau này rất nhiều. Ngoài ra, các bạn có thể tham khảo thêm các bài viết khác trên trang của Kiến Guru để làm mới thêm lượng kiến thức của mình. Chúc các bạn học tập hiệu quả!

[external_footer]

Total
0
Shares
Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Previous Post
cách đổi tài khoản icloud

Thay đổi tài khoản iCloud iPhone, đổi Account iCloud iPhone

Next Post

Hình ảnh cha mẹ vất vả ý nghĩa cảm động lay động hàng triệu trái tim bật khóc trong lễ vu lan – Thư viện hình ảnh đẹp

Related Posts
background trung thu

Background Trung Thu đẹp

Tổ chức sự kiện trung thu dành cho thiếu nhi không thể thiếu những background đẹp. Nếu bạn chưa nghĩ ra ý tưởng để trình bày background dành cho thiếu nhi thì bài viết dưới đây sẽ cung cấp cho các bạn những mẫu background trung thu đẹp để bạn tham khảo.
Read More
htc là của nước nào

Siêu thị Điện máy Chợ Lớn – điện tử, máy lạnh, gia dụng, di động

Trong khoảng 10 năm trở lại đây, một trong những thương hiệu điện thoại có được sự phát triển mạnh mẽ nhất tại thị trường Việt Nam đó chính là HTC. Vậy HTC là thương hiệu điện thoại của nước nào? Chất lượng sử dụng ra sao và có nên mua hay không? Tất cả sẽ được Siêu thị Điện Máy Chợ Lớn giải đáp ngay ở bài viết dưới đây.
Read More