Định Lý Viet Và Ứng Dụng Trong Phương Trình.

Định lý Viet là một trong những kiến thức quan trọng của chương trình toán Trung học cơ sở. Đây là chủ đề thường xuyên xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi, thi tuyển sinh lớp 10. Vì vậy hôm nay Kiến Guru xin giới thiệu đến bạn đọc một số ứng dụng quan trọng của định lý này. Bài viết vừa tổng hợp lý thuyết, vừa đưa ra các ví dụ rõ ràng, chi tiết giúp các bạn nắm vững và ứng dụng thành thục các hệ thức Viet vào việc chinh phục các bài toán. Cùng khám phá nhé:

I. Định lý Viet – Lý thuyết quan trọng.

Định lý Viet hay hệ thức Viet thể hiện mối quan hệ giữa các nghiệm của một phương trình đa thức do nhà toán học Pháp François Viète khám phá ra.

[external_link_head]

1. Định lý Viet thuận.

Cho phương trình bậc 2 một ẩn: ax²+bx+c=0 (a≠0) (*) có 2 nghiệm x₁ và x₂. Khi đó 2 nghiệm này thỏa mãn hệ thức sau:

Hệ quả: Dựa vào hệ thức Viet khi phương trình bậc 2 một ẩn có nghiệm, ta có thể nhẩm trực tiếp nghiệm của phương trình trong một số trường hợp đặc biệt:

• Nếu a+b+c=0 thì (*) có 1 nghiệm x₁=1 và x₂=c/a
• Nếu a-b+c=0 thì (*) có nghiệm x₁=-1 và x₂=-c/a

2. Định lý Viet đảo.

Giả sử hai số thực x₁ và x₂ thỏa mãn hệ thức:

thì x₁ và x₂ là 2 nghiệm của phương trình bậc 2: x²-Sx+P=0 (1).

Chú ý: điều kiện S²-4P≥0 là bắt buộc. Đây là điều kiện để ∆(1)≥0  hay nói cách khác, đây là điều kiện để phương trình bậc 2 tồn tại nghiệm.

II. Các dạng bài tập ứng dụng định lý Viet.

1.  Ứng dụng hệ thức Viet tìm hai số khi biết tổng và tích.

Phương pháp:

Nếu 2 số u và v thỏa mãn:

thì u, v sẽ là 2 nghiệm của phương trình: x²-Sx+P=0.

Như vậy, việc xác định hai số u, v sẽ quay về bài toán giải phương trình bậc 2 một ẩn:

• Nếu S²-4P≥0 thì tồn tại u,v.
• Nếu S²-4P<0 thì không tồn tại số nào thỏa mãn.

Ví dụ 1: Một hình chữ nhật có chu vi 6a, diện tích là 2a². Hãy tìm độ dài 2 cạnh.

Hướng dẫn:

Gọi x₁, x₂ lần lượt là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật. Theo đề ta có:

Suy ra x₁, x₂ là nghiệm của phương trình: x²-3ax+2a²=0.

Giải phương trình trên được x₁=2a, x₂=a (do x₁>x₂)

Vậy hình chữ nhật có chiều dài 2a, chiều rộng là a.

Ví dụ 2: Tìm hai số x₁, x₂ thỏa mãn (x1>x2)

Hướng dẫn:

Ta cần biến đổi hệ đã cho về dạng tổng tích quen thuộc:

[external_link offset=1]

• Trường hợp 1:

suy ra x₁, x₂ là nghiệm của phương trình bậc 2: x²-5x+6=0. Giải tìm được x₁=3, x₂=2

• Trường hợp 2:

suy ra x₁, x₂ là nghiệm của phương trình bậc 2: x²+5x+6=0. Giải tìm được x₁=-2, x₂=-3.

Ví dụ 3: Giải phương trình:

Hướng dẫn:

Điều kiện: x≠-1

Để ý, nếu quy đồng mẫu, ta sẽ được một phương trình đa thức, tuy nhiên bậc của phương trình này khá lớn. Rất khó để tìm ra định hướng khi ở dạng này.

Vì vậy, ta có thể nghĩ đến việc đặt ẩn phụ để bài toán đơn giản hơn.

Ta đặt:

Khi đó theo đề: uv=6.

Ta lại có:

Suy ra u, v là nghiệm của phương trình bậc 2: t²-5t+6=0.

Giải phương trình trên được:

• Trường hợp 1: u=3, v=2. Khi đó ta thu được phương trình: x²-2x+3=0 (vô nghiệm)
• Trường hợp 2: u=2, v=3. Khi đó ta thu được phương trình x²-3x+2=0, suy ra x₁=1, x₂=2 (thỏa mãn điều kiện x≠-1)

2. Áp dụng định lý Viet tính giá trị biểu thức đối xứng.

Phương pháp:

Biểu thức đối xứng với x₁, x₂ nếu ta đổi chỗ x₁, x₂ cho nhau thì giá trị biểu thức không thay đổi:

• Nếu f là một biểu thức đối xứng, nó luôn tồn tại cách biểu diễn qua biểu thức đối xứng S=x₁+x₂, P=x₁x₂
• Một số biểu diễn quen thuộc:

• Áp dụng hệ thức Viet, ta tính được giá trị biểu thức cần tìm.

Ví dụ 4: Cho phương trình bậc 2 một ẩn: ax2+bx+c=0 (a≠0) tồn tại 2 nghiệm x1, x2. Gọi:

Hãy chứng minh:

Hướng dẫn:

Ví dụ 5: Cho phương trình x²+5x+2=0. Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình. Tính giá trị của:

Hướng dẫn:

Cách 1:

Ta biến đổi:

Lại có:

Thế vào ta tính được S.

Cách 2:

Ta có thể ứng dụng ví dụ 4 để tính trong trường hợp này, chú ý:

Ta có: S=S₇.

[external_link offset=2]

Vậy ta tính lần lượt S₁, S₂,.., S₆. Sau đó sẽ có được giá trị của S₇.

3. Áp dụng định lý Viet vào các bài toán có tham số.

Đối với các bài toán tham số, điều kiện tiên quyết là phải xét trường hợp để phương trình tồn tại nghiệm. Sau đó áp dụng định lý Viet cho phương trình bậc hai, ta sẽ có các hệ thức của hai nghiệm x₁, x₂ theo tham số, kết hợp với dữ kiện đề bài để tìm đáp án.

Ví dụ 5: Cho phương trình mx²-2(3-m)x+m-4=0 (*) (tham số m).

Hãy xác định giá trị của tham số để:

1. Có đúng 1 nghiệm âm.
2. Có 2 nghiệm trái dấu.

Hướng dẫn:

Nhắc lại kiến thức:

Đặc biệt, do ở hệ số a có chứa tham số, vì vậy ta cần xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: a=0⇔m=0

Khi đó (*)⇔-6x-4=0⇔x=-⅔. Đây là nghiệm âm duy nhất.

Trường hợp 2: a≠0⇔m≠0

Lúc này, điều kiện là:

Ví dụ 6: Tìm tất cả giá trị m thỏa mãn phương trình bậc 2 sau:

 

tồn tại  nghiệm x₁, x₂  phân biệt sao cho:

Hướng dẫn:

Điều kiện để phương trình tồn tại 2 nghiệm phân biệt:

Khi đó dựa vào hệ thức Viet:

Hai nghiệm phân biệt này phải khác 0 (vì để thỏa mãn đẳng thức đề cho), suy ra:

  (2)

Mặt khác, theo đề:

Trường hợp 1:

Trường hợp 2:

Kết hợp với 2 điều kiện (1) và (2) suy ra m=1 hoặc m=5 thỏa yêu cầu bài toán.

Trên đây là tổng hợp của Kiến Guru về định lý Viet. Hy vọng thông qua bài viết, các bạn sẽ tự củng cố và rèn luyện thêm tư duy giải toán của bản thân. Mỗi bài toán sẽ có nhiều cách tiếp cận khác nhau, chính vì vậy, hãy tự do vận dụng một cách sáng tạo những gì bạn học được nhé, điều đó sẽ hỗ trợ cho các bạn sau này rất nhiều. Ngoài ra, các bạn có thể tham khảo thêm các bài viết khác trên trang của Kiến Guru để làm mới thêm lượng kiến thức của mình. Chúc các bạn học tập hiệu quả!